А)Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, точкой касания разбивает гипотенузу...

Question

А)Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, точкой касания разбивает гипотенузу на два отрезка m и n. Докажите, что площадь треугольника равно m*n.

б) Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 4, угол ABC - прямой. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются отрезка AC в точках K и M соответственно, при этом CK:KM:MA = 3:1:4 (точка М лежит между точками К и А). Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Answer 1

1. Расстояния от вершин треугольника до точек касания равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки (см. рис.)
Sabc = AC · BC / 2 = (m + r)·(n + r)/2 = (mn + mr + nr + r²)/2
Sabc = (mn + r(m + n + r))/2
m + n + r - это полупериметр треугольника, а произведение радиуса на полупериметр - это площадь треугольника. Итак,

Sabc = (mn + pr)/2 = (mn + Sabc)/2
2Sabc = mn + Sabc
Sabc = mn.

2.
∠АВС = 90°, он вписанный, значит опирается на диаметр, т.е. АС - диаметр окружности. Значит и угол ADC = 90°.
АС = 2R = 8.

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда
СК = 3х, КМ = х, МА = 4х.
СК + КМ + МА = АС
3x + x + 4x = 8
8x = 8
x = 1

СК = 3, КМ = 1, МА = 4.

По доказанному в первой задаче:
Sabc = AK·KC = (KM + MA)·KC = 5·3 = 15
Sacd = AM·MC = AM·(MK + KC) = 4·4 = 16
Sabcd = Sabc + Sacd = 15 + 16 = 31