Дано:
Δ АСВ ; ∠С= 90°
АВ= 25 см
СН = 12 см - высота
Найти : (АС +СВ ) - ?
Решение №1 (по теореме Пифагора):
СН⊥АВ ⇒ ∠СНА= ∠СНВ = 90°
ΔАНС :
АС² = АН² +СН²
АН = х см
АС² = х² + 12²
ΔСНВ :
СВ²= НВ² +СН²
НВ = (25 -х) см
СВ² = (25-х)² + 12²
ΔАСВ :
АВ² = АС² + СВ²
25² = х² + 12² + (25-х)² + 12²
625 = х² + 144 + 25² - 2*25*х + х² + 144
625 = 2х² -50х + 288 + 625
2х² - 50х + 288 + 625 - 625 = 0
2(х² - 25х + 144) = 0 |÷2
x² - 25x + 144 = 0
D = (-25)² - 4*1*144 = 625 - 576=49=7²
D>0 два корня уравнения
х₁ = (25-7)/(2*1) = 18/2 = 9 (см)
х₂ = (25+7)/ (2*1) = 32/2 = 16 (см)
АН = 9 см ; НВ = 16 см (или наоборот)
АС² = 9² + 12² ⇒ АС = √(81 + 144) = √225 = 15 (см) один катет
СВ² = 16² + 12² ⇒ СВ= √(256+144) = √400 = 20 (см) второй катет
АС +СВ = 15 + 20 = 35 (см) сумма катетов
Решение 2.
Высота из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками, на которую делится гипотенуза этой высотой:
СН = √(АН*НВ)
АН= х см
НВ = (25-х) см
12 = √ (х(25-х) )
(12²) = ( √(х(25-х) ) ²
144 = х(25-х)
144 = 25х - х²
144 + х² - 25х = 0
х² - 25х + 144 = 0
x² - 9x - 16x + 144 = 0
x(x-9) - 16(x-9) = 0
(х-9) (x-16)=0
произведение = 0 , если один из множителей = 0
x - 9 = 0 ⇒ x₁ = 9 ⇒ АН = 9 см
x - 16 = 0 ⇒ x₂ = 16 ⇒ НВ = 16 см
По теореме Пифагора:
ΔАНС : АС =√( 9² + 12² ) = √225 = 15 (см)
ΔВНС : СВ= √(16² +12²) = √400 = 20 (см)
АС +СВ = 15 + 20 = 35 (см)
Решение 3.
Формула длины высоты через стороны:
Н= ab/c , где а,b - катеты ; с - гипотенуза
c= 25 см ; Н = 12 см , подставляем в формулу :
12 = ab/25
ab= 25*12
ab=300 ⇒ b= 300/a
По теореме Пифагора:
a² + (300/a)² = 25²
(a⁴ + 300²) / a² = 25²
a⁴ - 625a² + 300² =0
a⁴ - 225a² - 400a² + 90000 = 0
a²(a²-225) - 400(a² - 225) = 0
(a² - 225)(a² - 400) = 0
(a² - 15²)(a² - 20²) = 0
(a-15)(a+15)(a-20)(a+20) = 0
a₁ = 15 (см) один катет
a₂ = - 15 не удовл. условию
а₃ = 20 (см) другой катет
а₄ = - 20 не удовл. условию
а₁ + а₃ = 15 + 20 = 35 (см) сумма катетов
Ответ: 35 см сумма катетов .
