Найдите границу:

0 голосов
43 просмотров

Найдите границу: \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x}

Алгебра (9.2k баллов) | 43 просмотров
0

Ответ будет "a", но я не знаю прокатит ли решение через правило Лопиталя

оставил комментарий (4.1k баллов)
0

Вообще-то это замечательный предел

оставил комментарий
0

другие формулы есть

оставил комментарий
0

сразу видно что равен степеню

оставил комментарий
0

а)

оставил комментарий
0

"сразу видно" - это и есть та самая другая формула. Ну тогда я согласна))

оставил комментарий (4.1k баллов)
0

Cdelaj eto: (1+x)ˇa - 1=(1+x)ˇa - 1ˇa = (1+x-1)P(x)=xP(x)-Pocle togo x cokratitsja..........

оставил комментарий (52.7k баллов)
0

Ili c pomošcu lˇHospitala.......

оставил комментарий (52.7k баллов)
0

Сократили на x, получилось P(x), но чему оно равно?

оставил комментарий (9.2k баллов)
0

Спасибо, Lesben. Получается lim((x+1)^(a-1) + (x+1)^(a-2) + ... 1) = a

оставил комментарий (9.2k баллов)
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Воспользуемся замечательным пределом \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} =1

Представим выражение в так:

\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} =\lim_{x\to 0} \frac{e^{a\ln(1+x)}-1}{a\ln (1+x)} \cdot \frac{a\ln(1+x)}{x} =a

0

Это гениально!

оставил комментарий (9.2k баллов)
0 голосов

Если подставим значение x=0 получим неопределенность вида 0/0.
Очевидно что функции f(x)=(1+x)^a-1, \,g(x)=x дифференцируемы в любой точке, следовательно они дифференцируемы в окрестности точки x=0. Очевидно что g'(x)\ne 0.

Найдем следующий предел:

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x \to 0} \frac{a\cdot (1+x)^{a-1}}{1}= \lim_{x \to 0} a\cdot (1+x)^{a-1}=a. 

Следовательно, по правилу Лопиталя:

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x} =a

(46.3k баллов)
Похожие задачи