Решить в рамках школьной программы 11 класса: Задание средней сложности. Правило...

$\displaystyle \lim_{x \to e} \frac{\ln x-1}{x-e}=\bigg\{x-e=t;\,\,\, x\to e\,\,\,\,\, then\,\,\,\, t\to 0;\,\,\,\,\,\,\,\, x=t+e\bigg\}=\\ \\ \\ =\lim_{t \to 0} \frac{\ln(t+e)-1}{t} =\lim_{t \to 0} \frac{\ln(e(1+ \frac{t}{e}))-1 }{t} =\\ \\ \\ =\lim_{t \to 0} \frac{\ln e+\ln(1+ \frac{t}{e})-1 }{t} =\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+ \frac{t}{e} )}{e\cdot \frac{t}{e} } = \frac{1}{e}$

Использовал замечательный предел $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1$