Лично мне нравится больше всего доказательство теоремы Эйлера, приведенной на рисунке. Оно очень наглядное, там сразу всё видно.
Дана окружность с центром O, ABC - вписанный треугольник.
Точка C1 противоположна C на окружности, что есть CC1- диаметр, O - его середина.
Пусть M - середина AB. H - точка пересечения высот треугольника ABC.
Тогда AH II BC1; так как обе прямые перпендикулярны BC; и так же BH II AC1; то есть AHBC1 - параллелограмм.
Поэтому точка M является серединой не только AB, но и C1H; так как диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах.
Следовательно, CM - медиана (внимание!) не только треугольника ABC, то и треугольника CHC1, и - (еще раз внимание!) - точка G является точкой пересечения медиан обоих (!) треугольников.
Другой медианой треугольника CHC1 как раз и является прямая Эйлера HO, то и завершает доказательство - точка G лежит на OH.
Ясно так же, что HG/GO = 2, как и бывает всегда у медиан.
