Чему равно наименьшее значение выражения? Использование производной не приветствуется

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях:
$x^{2} - x + 1 = x^{2} - 2 * \frac{1}{2} x + 1 = x^{2} - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = (x^{2} - x + \frac{1}{4} ) + \\ \frac{3}{4} = (x - \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4}$

$x^{2} - \sqrt{3} x + 1 = (x^{2} - 2 * \frac{ \sqrt{3} }{2} x + \frac{3}{4}) - \frac{3}{4} + 1 = (x - \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2} + \frac{1}{4}$

Для решения задачи используем векторную интерпретацию функции.
Пусть вектор a $= \{x - \frac{ 1 }{2} , \frac{ \sqrt{3} }{2} \}$ , а вектор b $= \{-x + \frac{ \sqrt{3} }{2} , \frac{1}{2} \}$
Здесь векторы заданы своими координатами.

Найдём координаты суммы этих векторов.
a + b = $\{ \frac{ \sqrt{3} - 1 }{2} , \frac{ \sqrt{3} + 1}{2} \}$
Тогда его длина
$|a + b| = \sqrt{ (\frac{ \sqrt{3} - 1 }{2})^{2} + ( \frac{ \sqrt{3} + 1}{2})^{2} } = \frac{ \sqrt{8} }{ 2 } = \sqrt{2}$

Найдём длины каждого из введённых векторов. Очевидно, что они равны первому и второму слагаемым соответственно:

$|a| = \sqrt{ (x - \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4}} \\ |b| = \sqrt{(x - \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2} + \frac{1}{4} }$

А теперь воспользуемся неравенством треугольника для двух векторов.

А именно,
$|a + b| \leq |a| + |b|$
Это неравенство обращаем остриём вправо:
$|a| + |b| \geq |a+b|$

Наше выражение - это ни что иное, как сумма длин введённых векторов. Справа стоит длина суммы векторов, которую мы знаем.
Отсюда получаем наименьшее значение функции:

$\sqrt{ x^{2} - x + 1} + \sqrt{ x^{2} - \sqrt{3} x + 1} \geq \sqrt{2}$

Необходимо найти теперь точку, в которой достигается это наименьшее значение.
Проще всего это сделать из нашего же неравенства треугольника. В нужной точке, разумеется, достигается равенство. Равенство в неравенстве треугольника достигается при условии сонаправленности векторов.
Воспользуемся им.

Замечаем, что вторая координата первого вектора в корень из 3 раз больше соответствующей координаты второго. У сонаправленных векторов координаты пропорциональны. Значит,

$x - \frac{1}{2} = \sqrt{3}(-x + \frac{ \sqrt{3} }{2} )$
Решая это уравнение, мы получаем, что $x = \frac{2}{1 + \sqrt{3} }$
В этой точке достигается наименьшее значение функции.

Kulakca_zn (6.8k баллов) 16 Май, 18