Найдите производную функции:

Введем две функции

$\displaystyle f(x) = \log_x(x+1)\\\\ g(x) = x^{f(x)} = x+1$

Возьмем производную от натурального логарифма g(x) (известный прикол)

$(\ln g(x))' = (\ln x^{f(x)})' = (f(x)\ln x)' = f'(x)\ln x+ f(x)/x\\\\ f'(x) = \frac{(\ln g(x))'-f(x)/x}{\ln x}$

Учитывая то, что g(x) = x+1 а f(x) уже известна, просто подставим все это дело в полученное выражение

$\displaystyle f'(x) = \frac{(\ln (x+1))'-x^{-1}\log_x(x+1)}{\ln x} = \frac{(x+1)^{-1}-x^{-1}\log_x(x+1))}{\ln x}$