Решить уравнение

$\cos2x=1+4\cos x \\\ 2\cos^2x-1=1+4\cos x \\\ 2\cos^2x-1-4\cos x-1=0 \\\ 2\cos^2x-4\cos x-2=0 \\\ \cos^2x-2\cos x-1=0 \\\ D_1=(-1)^2-1\cdot(-1)=1+1=2 \\\ \cos x_1=1+ \sqrt{2} \\\ \cos x_2=1- \sqrt{2}$
Так как косинус принимает лишь значения из отрезка от -1 до 1, то первое уравнение $\cos x_1=1+ \sqrt{2}$ не имеет решений.
Для второго уравнения записываем ответ:
$x=\pm \arccos(1- \sqrt{2} )+2\pi n, \ n\in Z$
Ответ: $\pm \arccos(1- \sqrt{2} )+2\pi n$ , где n - целые числа