1)lim 3x / (корень из (5-x) - корень из (5+x)) при x стремящемся к 0 2)lim (1/(x-2) -...

0 голосов
55 просмотров

1)lim 3x / (корень из (5-x) - корень из (5+x)) при x стремящемся к 0
2)lim (1/(x-2) - 4/(x^2-4)) при x стремящемся к 2
3)lim arcsin5x/(x^2-x) при x стремящемся к 0
4)lim ((1-x)/(2-x))^3x при x стремящемся к бесконечности

Алгебра (1.0k баллов) | 55 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

1) Неопределённость 0/0 раскрываем умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое знаменателю, т.е. на \sqrt{5-x} + \sqrt{5+x}
\lim_{n \to \inft0} \frac{3x}{\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x}} =\lim_{n \to \inft0} \frac{3x*(\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x})}{(\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x})*(\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x})} =
В знаменателе разложение разности квадратом, используем это:
=\lim_{n \to \inft0} \frac{3x*(\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x})}{(5-x) - (5+x)} =\lim_{n \to \inft0} \frac{3x*(\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x})}{-2x} =
Сокращаем:
=- \frac{3}{2} \lim_{n \to \inft0} (\sqrt{5-x} + \sqrt{5+x}) =- \frac{3}{2} (\sqrt{5-0} + \sqrt{5+0})=
=- \frac{3}{2} (\sqrt{5-0} + \sqrt{5+0})=- \frac{3}{2}* 2\sqrt{5}=-3\sqrt{5}

2) Неопределённость (∞-∞) раскрываем, приводя к общему знаменателю:
\lim_{n \to \inft2} ( \frac{1}{x-2} - \frac{4}{ x^{2} -4})= \lim_{n \to \inft2} \frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)} =\lim_{n \to \inft2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} =
Сокращаем:
=\lim_{n \to \inft2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}

3) Неопределённость 0/0 раскрываем по первому замечательному пределу, вернее по одному из следствий из него, а именно: \lim_{n \to \inft0} \frac{arcsinx}{x} =1
\lim_{n \to \inft0} \frac{arcsin5x}{ x^{2} -x}=\lim_{n \to \inft0} \frac{arcsin5x}{ x(x-1)}=\lim_{n \to \inft0} \frac{1}{x-1} * \lim_{n \to \inft0} \frac{arcsin5x}{ x}=
Знаменатель разложили на множители, затем по свойству предел произведения равен произведению пределов, разбили на 2 предела:
=-1 * \lim_{n \to \inft0} \frac{5*arcsin5x}{5 x}=
Первый предел равен минус единице, второй приводим к первому замечательному пределу домножением на 5 числителя и знаменателя.
=-1 *5* \lim_{n \to \inft0} \frac{arcsin5x}{5 x}=-1*5*1=-5

4) Неопределённость 1 в степени ∞ раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но сначала путём преобразований приведём к виду, когда его можно будет применить.
В числителе добавили и вычли 1, затем сгруппировали и разделили.
\lim_{n \to \infty} ( \frac{1-x}{2-x} ) ^{3x} = \lim_{n \to \infty} (\frac{(2-x)-1}{2-x} ) ^{3x} = \lim_{n \to \infty} ( 1-\frac{1}{2-x} ) ^{3x} =
Потом поменяли знак второго слагаемого
= \lim_{n \to \infty} ( 1+\frac{1}{x-2} ) ^{3x} =
Сделаем замену t=1/(x-2), при этом t →0 и  x= \frac{1}{t} +2
= \lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{3*( \frac{1}{t} +2)}=\lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{ \frac{3}{t} +6}=
Отделим целочисленную степень (6):
=\lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{6}*( 1+t) ^{ \frac{3}{t}}=lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{6}*lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^{ \frac{3}{t}}=
Разбили на произведение пределов, первый из которых равен 1, второй по второму замечательному пределу:
=1*lim_{n \to \infty} (( 1+t) ^ \frac{1}{t} )^3=(lim_{n \to \infty} ( 1+t) ^ \frac{1}{t} )^3=
Сначала можно вычислить предел, а затем возвести его в степень:
=(e )^3=e ^{3}

(43.0k баллов)
Похожие задачи