Будем доказывать по частям:
(1 + a)/2·(3 + b)/2·(3 + c)/2 ≥ 3√abc
(1 + a)/2 ≥ √a (1)
(3 + b)/2 ≥ √3b (2)
(3 + c)/2 ≥ √3c (3)
Неравенства (1), (2), (3) верны в силу того, что среднее арифметическое двух чисел больше их среднего геометрического или равно, если все числа равны между собой.
Т.к. все числа неотрицательные, то умножим неравенства (1), (2) и (3)
(1 + a)/2·(3 + b)/2·(3 + c)/2 ≥ √a·√3b·√3c
(1 + a)/2·(3 + b)/2·(3 + c)/2 ≥ 3√abc
(1 + a)(3 + b)(3 + c) ≥ 24√abc, что и требовалось доказать.
8) (2 + a)(2 + b)(1 + c) ≥ 16√abc
Аналогично делим каждую скобку на 2:
(2 + a)/2·(2 + b)/2·(1 + c)/2 ≥ 2√abc
Доказываем по частям:
(2 + a)/2 ≥ √2a (4)
(2 + b)/2 ≥ √2b (5)
(1 + c)/2 ≥ √c (6)
В силу того, что все переменные неотрицательны, умножим неравенства:
(2 + a)/2·(2 + b)/2·(1 + c)/2 ≥ √2a·√2b·√c
(2 + a)/2·(2 + b)/2·(1 + c)/2 ≥ 2√abc
(2 + a)(2 + b)(1 + c) ≥ 16√abc, что и требовалось доказать
Среднее арифметическое a и b:
(a + b)/2
Среднее геометрическое a и b:
√ab