Доказать, что

Question 1

Доказать, что

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1$

Question 2

Дополните в условие !!! применение эквивалентности недопустимо.

Question 3

Ваша ошибка была в том, что вы не полностью подкорректировали условие! В следующий раз будьте внимательнее.

Question 4

Исправить условие я уже не могу. Хотя и так очевидно, что если я, скажем, прошу доказать, что lim x\to 0 (sin x/x)=1, то пользоваться эквивалентностью не стоит))

Question 5

Здесь очевидно на окружности доказать. подобие треугольников.

Question 6

Формулу стирлинга доказывают на мат. статистике.

Question 7

А зачем эквивалентность? Ведь это первый замечательный предел. И полно доказательств в интернете

Question 8

Рассмотрим следующую гамму-функцию: Г(n+1)= $\int\limits^\infty_0$ xⁿ·e⁻ˣ dx.
Положим x=n(1+u), то есть, получаем Г(n+1) = nⁿ⁺¹ e⁻ⁿ $\int\limits^{+\infty}_{-1}$ ((1+u)*e^(-u))ⁿ du

Пусть u=f(a): Г(n+1)=nⁿ⁺¹ e⁻ⁿ $\int\limits^{+\infty}_{-\infty}$ e⁻ⁿᵃ * f'(a)da

Пусть n^(-0.5a)=b, имеем Г(n+1) = n^(n+0.5) * e⁻ⁿ $\int\limits^{+\infty}_{-\infty}$ $e^{-b^2}$ f'(b/√n) db
или это можно переписать в виде $\frac{\Gamma(n+1)}{n^{-n}e^{-n} \sqrt{n} } = \int\limits^{+\infty}_{-\infty} e^{-b^2}f'( \frac{b}{ \sqrt{n} } )db$
При n стремящихся к бесконечности b/√n -> 0, то есть $\int\limits^{+\infty}_{-\infty} e^{-b^2}f'( \frac{b}{ \sqrt{n} } )db= \sqrt{2} \int\limits^{+\infty}_{-\infty} e^{-b^2}db=\sqrt{2} \pi$

Откуда вытекает формула Стирлинга n!=Г(n+1)=nⁿ e⁻ⁿ √(2πn), то есть
$\lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(n+1)}{n^ne^{-n} \sqrt{n} } =1$