2*(sin^4 альфа + sin^2 альфа * cos ^2 альфа + cos^4 альфа)-(sin^8 альфа + cos ^8 альфа)...

Question

2*(sin^4 альфа + sin^2 альфа * cos ^2 альфа + cos^4 альфа)-(sin^8 альфа + cos ^8 альфа) Упростите выражение.

Comments

^ 4, ^2, ^8 - это степень?

Answer 1

Task/25768411
--------------------
Упростите выражение  2(sin⁴α+sin²α*cos²α +cos⁴α) -(sin⁸α +cos⁸α)   
---------------------------
2(sin⁴α+sin²α*cos²α +cos⁴α) -(sin⁸α +cos⁸α) =
(sin⁴α+2sin²α*cos²α +cos⁴α) +  sin⁴α+cos⁴α -(sin⁸α +cos⁸α) =
(sin²α+cos²α)² + (sin⁴α - sin⁸α) + (cos⁴α -cos⁸α) =
1 +sin⁴α(1 -sin⁴α) +cos⁴α(1 -cos⁴α) =
1 +sin⁴α*(1 -sin²α)(1+sin²α) +cos⁴α*(1 -cos²α)(1+cos²α) =
1 +sin⁴α*cos²α*(1+sin²α) +cos⁴α*sin²α *(1+cos²α) =
1 +sin²α*cos²α*(sin²α+sin⁴α +cos²α+cos⁴α)  =
1 +sin²α*cos²α*(1+sin⁴α +cos⁴α)  =
1 +sin²α*cos²α*(1+(sin²α +cos²α)² -  2sin²α *cos²α) =
1 +sin²α*cos²α*(2 -  2sin²α *cos²α) =1 +(sinα*cosα)² (2-2(sinα *cosα)² ) =
1 +(1/4)sin²2α (2 - (1/2)*sin²2α)  = 1 +(1/8)sin²2α (4 - sin²2α)=
 1 +(1/32)*( 1-cos4α) (7 +cos4α)