B(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab
1) b(a² + 1) ≥ 2ab
b(a² + 1) - 2ab ≥ 0
b(a² - 2a + 1) ≥ 0
b(a - 1)² ≥ 0
Т.к. b ≥ 0, (a - 1)² ≥ 0, то неравенство верно
2) a(b² + 1) ≥ 2ab
a(b² + 1) - 2ab ≥ 0
a(b² - 2b + 1) ≥ 0
a(b - 1)² ≥ 0
Т.к. a ≥ 0, (b - 1)² ≥ 0, то неравенство верно
Складывая неравенства (1) и (2), получаем:
b(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 2ab + 2ab
b(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab, что и требовалось доказать