1) A(0;-1), B(-1;2),C(5;4) a)найдите координаты и длину вектора AB б)разложите вектор AB...

Question

1)

A(0;-1), B(-1;2),C(5;4)

a)найдите координаты и длину вектора AB

б)разложите вектор AB по координатным векторам i и j

2)

a)запишите уравнение окружности с центром в точки B и радиусом АВ.

б)принадлежит ли этой окружности точка D(6;1)?

3)запишите уравнение прямой АВ.

4)

а)докажите , что векторы АВ и CD коллинеарны

б)докажите, что ABCD- прямоугольник.

Comments

с решениями и формулами, пожалуйста.

Answer 1

1) а) Координаты вектора AB = (0-(-1); 3-0) = (1; 3)

Длина вектора |AB| = √(12+32) = √10

    б) Разложение по векторам: AB = i+3j

2)  а) Уравнение окружности: (x-xA)2 + (y-yA)2 = |AB|2 

         (x+1)2 + y2 = 10

    б) Точка D принадлежит окружности, если |AD| = |AB|

        |AD| = √((5-(-1))2 + (2-0)2) = √40

           √40 ≠ √10 - точка D не принадлежит окружности 

3) Уравнение прямой имеет вид y = kx+b

    k = yAB/xAB = 3/1 = 3

    0 = 3·(-1) + b

    b = 3

    Уравнение прямой: y = 3x+3

4) а) Координаты вектора CD: CD = (5-6; 2-1) = (-1; 1)

       xAB/xCD = 1/-1 = -1,   yAB/yCD = 3/1 = 3

       -1 ≠ 3 - следовательно, векторы AB и CD не коллинеарные, и четырёхугольник ABCD  не прямоугольник.

 

Подозреваю, что координаты точки D должны быть (5; -2)

Тогда точка D также не принадлежит окружности , но:

   а) Координаты вектора CD: CD = (5-6; -2-1) = (-1; -3)

        xAB/xCD = 1/-1 = -1,   yAB/yCD = 3/-3 = -1

          -1 = -1 - векторы AB и CD коллинеарны

   б)  Координаты вектора AD: AD = (5-(-1); -2-0) = (6; -2)

           Координаты вектора BC: BC = (6-0; 1-3) = (6; -2)

        xBC/xAD = 6/6 = 1,  yBC/yAD = -2/-2 = 1

        1 = 1 - векторы BC и AD коллинеарны.

        Векторы лежат на попарно параллельных прямых, значит, четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

        cos (AB^BC) = (1·6+3·(-2))/(√(12+32)·√(62+(-2)2)) = 0

          AB^BC = 90°