Решите систему неравенств:

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\displaystyle \left \{ {{ \displaystyle\frac{(|2x+1|-x-2)(log_{ \frac{1}{3}}(x+4)+1) }{2^{x^2}-2^{|x|} } \geq 0 \atop {\displaystyle \frac{log_{x^2}( \frac{x+2}{x^2}) }{2^{x^2}-2^{2-x^2}+ \sqrt{2}} } \leq 0} \right.$

Решим эту систему последовательно. Для начале найдем решения первого неравенства, потом второго и в конце их пересечение.
И так, разберемся с первым неравенством.

$\displaystyle\frac{(|2x+1|-x-2)(log_{ \frac{1}{3}}(x+4)+1) }{2^{x^2}-2^{|x|} } \geq 0$

Найдем все значения, в которых эта функция обращается в 0.
Первая скобка:
$|2x+1|-x-2=0\\\\ \left[\begin{array}{ccc}2x+1-x-2=0\\-2x-1-x-2=0\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}x-1=0\\-3x-3=0\end{array}\right=\ \textgreater \ \boxed{\left[\begin{array}{ccc}x=1\\x=-1\end{array}\right}$

Вторая скобка:
$\displaystyle log_{\frac{1}3}(x+4)+1=0\\\\log_{\frac{1}3}(x+4)=-1\\\\x+4=\bigg(\frac{1}3\bigg)^{-1}\\\\x+4=3\\\\\boxed{x=-1}$

Знаменатель:
$2^{x^2}-2^{|x|}=0\\\\ \left[\begin{array}{ccc}2^{x^2}-2^x=0\\2^{x^2}-2^{-x}=0\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}2^{x^2}=2^x\\2^{x^2}=2^{-x}\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}x^2=x\\x^2=-x\end{array}\right=\ \textgreater \ \\\\\\ =\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}x(x-1)=0\\x(x+1)=0\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}x=0\\x=1\\x=0\\x=-1\end{array}\right=\ \textgreater \ \boxed{\left[\begin{array}{ccc}x=0\\x=1\\x=-1\end{array}\right}$

Теперь отметим все эти точки на числовой прямой:
$\underline{\quad \quad \quad \quad -1\quad \quad \quad \quad 0\quad \quad \quad \quad 1\quad \quad \quad \quad \quad \quad }$

Подставляя точки из промежутков в исходное неравенство можно определить знак промежутка.
$\underline{\quad \quad +\quad \quad -1\quad \quad -\quad \quad 0\quad \quad -\quad \quad 1\quad \quad \quad- \quad \quad \quad }$

Не стоит забывать об ОДЗ:
$\displaystyle \left \{ {{x+4\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textless \ -1}} \right. =\ \textgreater \ \left \{ {{x\ \textgreater \ -4} \atop {x\ \textless \ -1}} \right. =\ \textgreater \ \boxed{x\in(-4;-1)}$

Разберемся со вторым неравенством.
$\displaystyle \frac{log_{x^2}( \frac{x+2}{x^2}) }{2^{x^2}-2^{2-x^2}+ \sqrt{2}} } \leq 0$

Найдем все значения, в которых эта функция обращается в 0.
Числитель:
$\displaystyle log_{x^2}\bigg(\frac{x+2}{x^2}\bigg)=0\\\\\text{ODZ:} \begin{cases} \displaystyle x^2 \neq 1\\x^2\ \textgreater \ 0\\ \displaystyle \frac{x+2}{x^2}\ \textgreater \ 0 \end{cases}=\ \textgreater \ \begin{cases} \displaystyle x \neq б1\\x \neq 0\\ \displaystyle x\ \textgreater \ -2 \end{cases}\\\\\frac{x+2}{x^2}=(x^2)^0\\\\\frac{x+2}{x^2}=1\\\\x+2=x^2\\\\x^2-x-2=0\\\\D=1+4*2=9\\\\x_1=\frac{1+3}{2}=\boxed{2}\\\\x_2=\frac{1-3}2=-1\notin \text{ODZ}\\\\$

Знаменатель:
$\displaystyle 2^{x^2}-2^{2-x^2}+\sqrt2=0\\\\2^{x^2}-2^2*\frac{1}{2^x}+\sqrt2=0\\\\2^{x^2}=t,\,\,\,\,t\ \textgreater \ 0\\\\t-\frac{4}t+\sqrt2=0\\\\t^2+t\sqrt2-4=0\\\\D=\sqrt{2^2}-4*(-4)=2+16=18\\\\t_1=\frac{-\sqrt2-\sqrt{18}}{2}\ \textless \ 0\,\,\,\,\,(t\ \textgreater \ 0)\\\\t_2=\frac{-\sqrt2+\sqrt{18}}2=\frac{-\sqrt2+3\sqrt2}{2}=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2\\\\t=\sqrt2\\\\2^{x^2}=2^{\frac{1}2}\\\\x^2=\frac{1}2\\\\x=б\frac{1}{\sqrt2}=\boxed{б\frac{\sqrt2}2}$

Теперь отметим все эти точки на числовой прямой (с точками из ОДЗ) и найдем знаки промежутков (точка 2 не выколота):
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Cunderline%7B%5Cquad+-%5Cquad-1%5Cquad+-%5Cquad+-%5Cfrac%7B%5Csqrt2%7D2+%5Cquad+%2B%5Cquad0+%5Cquad+%2B%5Cquad+%5Cfrac%7B%5Csqrt2%7D2+%5Cquad-%5Cquad+1+%5Cquad+%2B%5Cquad%5Cquad+2+%5Cquad+%5Cquad+-%5Cquad%7D" id="TexFormula13" title="\displaystyle \underline{\qu

SYSTEMCORE_zn (8.3k баллов) 17 Май, 18