√(x+3)<√(x-1)+√(x-2) Математика 11 класс

$\sqrt{x+3}\ \textless \ \sqrt{x-1}+ \sqrt{x-2}$

ОДЗ:
$\left \{\begin{array}{I} x+3 \geq 0\\ x-1 \geq 0\\ x-2 \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow x \geq 2$

Возводим в квадрат
$x+3\ \textless \ x-1+2 \sqrt{x^2-3x+2}+x-2 \\ 2 \sqrt{x^2-3x+2}\ \textgreater \ -x+6$

Повторно возводим в квадрат
$4x^2-12x+8\ \textgreater \ x^2-12x+36 \\ 3x^2-28\ \textgreater \ 0 \\ (x+ \sqrt{ \dfrac{28}{3} })(x- \sqrt{ \dfrac{28}{3} })\ \textgreater \ 0 \\ (x+ 2\sqrt{ \dfrac{7}{3} })(x-2 \sqrt{ \dfrac{7}{3} } )\ \textgreater \ 0$

По методу интервалов
$a\ \textgreater \ 0 \Rightarrow x \in ( -\infty;\ -2\sqrt{ \dfrac{7}{3}}) \cup (2\sqrt{ \dfrac{7}{3}};\ + \infty)$

Не забываем про ОДЗ
$x \in (2\sqrt{ \dfrac{7}{3}};\ + \infty)$

Ответ: $x \in (2\sqrt{ \dfrac{7}{3}};\ + \infty)$