Найдите сумму решений уравнения tg2x * cos2x = sin2x + sin4x, принадлежащих множеству... - Все ответы

Дан 1 ответ

Перепишем уравнение, учитывая, что $tg2x=\frac{sin2x}{cos2x}$

$\frac{sin2x}{cos2x}*cos2x=sin2x+sin4x$ -----(1)

В уравнение (1) выражение $cos2x$ находится в знаменателе, поэтому $cos2x\neq0$ , или $2x\neq\frac{\pi}{2}+\pi*m$ , $m$ - целое

или $x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi*m}{2}$ , $m$ - целое-----(2)

Сократим в левой части уравнения (1) на $cos2x$ :

$sin2x=sin2x+sin4x$ , отсюда $sin4x=0$ , отсюда

$4x=\pi*n$ , или $x=\frac{\pi*n}{4}$ , $n$ - целое ------(3)

Из решений (3) надо исключить значения, равные значениям (2):

$x=\frac{\pi*n}{4}\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi*m}{2}$ , отсюда

$\pi*n\neq\pi+2\pi*m$ , сокращая на $\pi$ , получим

$n\neq1+2*m$ - нечетные числа

Другими словами $n$ принимает только четные значения!

Из условия следует, что $-\pi \leq\frac{\pi*n}{4}\leq2\pi$ , отсюда

$-4 \leq\ n \leq 8$

Таким образом, $n$ принимает значения ${-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}$

Видно, что решения (3) уравнения составляют арифметическую прогрессию с первым членом $a_{1}=-\pi$ и последним седьмым членом

$a_{7}=\frac{8*\pi}{4}=2\pi$

Теперь мы можем найти сумму $S$ всех решений уравнения как сумму первых семи членов арифметической прогрессии:

$S=7*\frac{a_{1}+a_{7}}{2}=7*\frac{-\pi+2\pi}{2}=3,5*\pi$

Geometr_zn (378 баллов) 31 Янв, 18