Докажите что при любом значении n€Z значение выражения 2n^3+4n-9 кратно 3

Question 1

Question 2

Примем известный всем метод математической индукции.
1) Проверим истинность утверждения при n=1, то есть,
$(2\cdot1^2+4\cdot 1-9)~\vdots ~3\\ \\ (-3)~\vdots ~3$
P(1) - истинное утверждение.

2) Предположим, что и при n=k выражение $(2k^3+4k-9)~\vdots ~3$ истинно.

Покажем, что тогда имеет место P(k+1), то есть $(2(k+1)^3+4(k+1)-9)~\vdots ~3$

$2(k^3+3k^2+3k+1)+4(k+1)-9)=\\ \\ =2k^3+6k^2+6k+2+4k+4-9=(2k^3+4k-9)+6(k^2+k+1)$
и, как $(2k^3+4k-9)$ , так и $6(k^2+k+1)$ делятся на 3, то и их сумма $(2k^3+4k-9)+6(k^2+k+1)$ делится на 3.

Таким образом, P(k+1) - справедливо утверждение, и, следовательно $(2n^3+4n-9)~\vdots~3,~~\forall n\in \mathbb{N}$

$(2n^3+4n-9)~\vdots~3,~~\forall n\in \mathbb{Z}$

аноним · Answer 1 · 2018-05-18T01:15:30+0000

Примем известный всем метод математической индукции.
1) Проверим истинность утверждения при n=1, то есть,
$(2\cdot1^2+4\cdot 1-9)~\vdots ~3\\ \\ (-3)~\vdots ~3$
P(1) - истинное утверждение.

2) Предположим, что и при n=k выражение $(2k^3+4k-9)~\vdots ~3$ истинно.

Покажем, что тогда имеет место P(k+1), то есть $(2(k+1)^3+4(k+1)-9)~\vdots ~3$

$2(k^3+3k^2+3k+1)+4(k+1)-9)=\\ \\ =2k^3+6k^2+6k+2+4k+4-9=(2k^3+4k-9)+6(k^2+k+1)$
и, как $(2k^3+4k-9)$ , так и $6(k^2+k+1)$ делятся на 3, то и их сумма $(2k^3+4k-9)+6(k^2+k+1)$ делится на 3.

Таким образом, P(k+1) - справедливо утверждение, и, следовательно $(2n^3+4n-9)~\vdots~3,~~\forall n\in \mathbb{N}$

$(2n^3+4n-9)~\vdots~3,~~\forall n\in \mathbb{Z}$