Помогите с пределами

Question

Дано ответов: 2

AssignFile_zn · Answer 1 · 2018-05-18T02:05:47+0000

4а) Неопределённость 0/0. Приводим к первому замечательному пределу:
$\lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{4x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{2x}= \frac{1}{2} *1= \frac{1}{2}$

4б) Тоже неопределённость 0/0. Приводим к первому замечательному пределу:
$\lim_{x \to \inft0} \frac{sin12x}{tg4x} =\lim_{x \to \inft0} \frac{sin12x}{ \frac{sin4x}{cos4x} } =\lim_{x \to \inft0} cos4x \frac{sin12x}{ sin4x } = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} cos4x *\lim_{x \to \inft0} \frac{sin12x}{ sin4x } =1*\lim_{x \to \inft0} \frac{sin12x}{ sin4x } = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{sin12x}{x} }{ \frac{sin4x}{x} } = \frac{\lim_{x \to \inft0} \frac{sin12x}{x} } {\lim_{x \to \inft0} \frac{sin4x}{x} } =$

$= \frac{\lim_{x \to \inft0} \frac{12sin12x}{12x} } {\lim_{x \to \inft0} \frac{4sin4x}{4x} } =\frac{12 \lim_{x \to \inft0} \frac{sin12x}{12x} } {4 \lim_{x \to \inft0} \frac{sin4x}{4x} } = \frac{12*1}{4*1} =3$

4в) Неопределённость $1^{\infty}$ . Приводим ко второму замечательному пределу:
$\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{2x} )^x=\lim_{x \to \infty} [(1+ \frac{1}{2x} )^{2x* \frac{1}{2x} } ]^x= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} [(1+ \frac{1}{2x} )^{2x} ]^{ \frac{1}{2x} *x}=\lim_{x \to \infty} [(1+ \frac{1}{2x} )^{2x} ]^{ \frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

4г) Неопределённость $1^{\infty}$ . Приводим ко второму замечательному пределу:
$\lim_{x \to \inft0} (1-2x )^{ \frac{1}{x} }=\lim_{x \to \inft0} (1+(-2x) )^{ \frac{1}{x} }= \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} [(1+(-2x) )^{ \frac{1}{-2x}* (-2x) } ]^{ \frac{1}{x} }= \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} [(1+(-2x) )^{ \frac{1}{-2x}} ]^{ (-2x)* \frac{1}{x} }= \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} [(1+(-2x) )^{ \frac{1}{-2x}} ]^{ -2 }=e^{-2}$