Дан треугольник АВС со сторонами АВ =13, ВС =14 и АС =15.
Н, М и Л-точки пересечения его высот, медиан и биссектрис.
Поместим этот треугольник в прямоугольную систему координат точкой А в начало и стороной АС по оси Ох.
Координаты точек А и С известны:
А(0; 0),
С(15; 0).
По теореме косинусов найдём косинус, а затем и синус угла А и найдём координаты точки В: Хв = АВ*cos A, Yв = АВ*sin A.
cos A = (13²+15²-14²)/(2*13*15) =
198/390 =
33/65 ≈ 0,507692.
sin A = √(1 - cos² A) = √ (3136/4225) = 56/65 ≈ 0,861538.
Отсюда получаем В(6,6; 11,2).
Координаты центроида (точка
пересечения медиан):
М(Хм;Ум) = (Ха+Хв+Хс)/3; Уа+Ув+Ус)/3
= (7,2;
3,7333).
Центр
вписанной окружности - точка Л пересечения биссектрис.
Хл = (
ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс)/Р = 7
Ул = (ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус)/Р
= 4.
Здесь периметр Р = 42.
Точку Н
пересечения высот находим как точку пересечения высот их точек А и С.
АА₂: (Х-Ха)
(У-Уа)
--------- = ---------
(Хв-Хс (Ус-Ув)
АА₂: -8,4
Х
+
11,2
У
+
0
=
0 уравнение общего вида,
АА₂:
у =
0,75
х
+
0 уравнение с коэффициентом.
СС₂:
Х-Хс У-Ус
-------- = ---------
Ха-Хв
Ув-Уа
СС₂: -6,6
Х
-
11,2
У
+
99
=
0 уравнение общего вида,
СС₂:
у =
-0,589286
х
+
8,8392857 уравнение с коэффициентом.
В результате решения системы из двух полученных уравнений находим координаты точки Н:
Точка
Н:
x =
6,6,
y =
4,95.
По полученным координатам заданных точек находим длины отрезков треугольника НМЛ и по формуле Герона находим его площадь.
л н
м p 2p S
1,35657 0,33333 1,03078
1,360339 2,720678
0,04166666
cos Л =
-0,97014 сos Н =
0,998223
cos М =
0,982872187
Лrad =
2,896614
Нrad =
0,059631 Мrad =
0,18534795
Лgr =
165,9638 Hgr =
3,416588 Мgr =
10,61965528 .
Ответ: площадь треугольника НМЛ равна 0,04166666 кв.ед.