Здравствуйте, хожу ** факультативы и учитель, сказала, что неплохо было бы научиться...

Question

Здравствуйте, хожу на факультативы и учитель, сказала, что неплохо было бы научиться дома, решать такие задания. Помогите пожалуйста решить и подробно опишите то, на что нужно положить взгляд.
Задание:
x^2+x y+y^2=4
x^4+x^2 y^2+y^4=8
x^6+x^3y^3+y^6=?

Answer 1

Очевидно, что третий многочлен надо как-то выразить через два предыдущих или разложить его на составные части, которые уже можно найти из первых двух многочленов. Например, обозначим x²+y²=a, xy=b. Тогда из первого многочлена a+b=4, а из второго 
x⁴+x²y²+y⁴=(x²+y²)²-x²y²=a²-b²=(a+b)(a-b)=4(a-b)=8, т.е. a-b=2. Отсюда а=3, b=1, т.е. x²+y²=3, xy=1.
Теперь выразим третий многoчлен через эти а и b:
x⁶+x³y³+y⁶=x⁶+y⁶+1=(x²+y²)³-3x²y²(x²+y²)+1=3³-3·3+1=19.