Докажите, что

$\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \geqslant2$

Пусть $\sqrt{a^2+1}=t$ , тогда $a^2+1=t^2$ .

Заменим в исходном неравенстве введённые переменные:
$\dfrac{t^2+1}{t} \geqslant2 \\ \\ \dfrac{t^2-2t+1}{t} \geqslant0 \\ \\ \dfrac{(t-1)^2}{t} \geqslant 0 \\$

Мы получили неравенство, верное при всех значениях $t$ , потому что в числителе — квадрат (всегда неотрицательный), а в знаменателе $t$ — квадратный арифметический корень (также неотрицателен).