4) числитель = (1 + tgα + tg²α)
знаменатель = 1 + Ctgα + Ctg²α = 1 + 1/tgα + 1/tg²α=
=(Ctg²α + Ctgα +1)/tg²α
при делении 2-я дробь перевернётся, сократится нафиг и можно писать ответ:
tg²α
5)Два этих корня разобьём на 2 дроби и приведём к общему знаменателю.
1-я дробь=√2/√(1 + Sinα)
2-я дробь= √2/(√1 - Sinα)
Общий знаменатель=√(1 + Sinα) * √(1 - Sinα)= √(1 - Sin²α)=√Cos²α=Cosα
Дополнительный множитель к 1-й дроби = (√1 - Sinα)
Дополнительный множитель ко 2-й дроби = (√1 +Sinα)
После приведения к общему знаменателю получим дробь, у которой числитель= √2* √(1 - Sinα) + √2 √(1+Sinα) = √2(√(1 - Sinα) + √(1 + Sinα) );
Давай с каждым корнем повозимся отдельно:
а) √(1 - Sinα) = √(Sinπ/2 - Sinα) = √(2Sin(π/4 -α/2)Сos(π/4 +α/2) )=
=√(2Сos(π/4 +α/2)Сos(π/4 +α/2)) =√ (2Сos²(π/4 +α/2)) = √2*Cos(π/4 +α/2)=
=√2*(√2/2*Сosα - √2/2*Sinα) = √2*√2/2(Cosα -Sinα)= Cosα-Sinα;
б) √(1 + Sinα) = √(Sinπ/2 + Sinα) = √(2Sin(π/4 +α/2)Сos(π/4 -α/2) )=
=√(2Сos(π/4 -α/2)Сos(π/4 -α/2)) =√ (2Сos²(π/4 -α/2)) = √2*Cos(π/4 -α/2) =
=Сosα+Sinα (аналогично)
Теперь наш числитель = √2(√(1 - Sinα) + √(1 + Sinα) ) =
= √2(Cosα-Sinα +Сosα+Sinα) = √2 * 2Cosα
А знаменатель ( общий знаменатель) = Cosα
Ответ:2√2