x^2+4y^2=4
переведём в каноническую форму
x^2/2^2+y^2/1^2=1
a = 2 - большая полуось, эллипс вытянут вдоль оси Х
b = 1 - малая полуось.
с - половина фокусного расстояния
a² = b² + c²
с² = a² - b² = 4-1 = 3
с = √3 - это расстояние от начала координат до фокусов эллипса, координаты фокусов
(-√3;0) и (√3;0)
Координаты верхней точки эллипса найдём из его уравнения
x^2+4y^2=4
при х=0
4y²=4
y²=1
y₁ = +1
y₂ = -1
Нас интересует верхняя точка, её координаты (0;1)
Уравнение окружности с центром в точке (x₀;y₀)
(x-x₀)²+(y-y₀)²=r²
Подставляем в него координаты вершины и фокусов и получим систему уравнений с тремя неизвестными
(x₀)²+(1-y₀)²=r²
(√3+x₀)²+(y₀)²=r²
(√3-x₀)²+(y₀)²=r²
--------
Вычтем из второго третье
(√3+x₀)²-(√3-x₀)²=0
3+2√3x₀+x₀² - (3-2√3x₀+x₀²) = 04√3x₀ = 0
x₀ = 0
Логично, центр окружности лежит на оси Y
система подстановкой х₀ изменяется до
(1-y₀)²=r²
3+(y₀)²=r²Вычтем из первого второе
1-2y₀+y₀²-3-y₀²=0
1-2y₀-3=0
-2y₀-2=0
y₀=-1
и осталось найти радиус
из первого(1-y₀)²=r²
(1-(-1))²=r²
2²=r²
r₁ = +2 - это хорошо
r₂ = -2 - а это отбросим, радиус у нас положительный.
Итак, уравнение окружности надо решить совместно с уравнением эллипса
(x)²+(y+1)²=2²
(x)²+4(y)²=4
Вычитаем из второго первое
4(y)²-(y)²-2y-1=0
3y²-2y-1=0
y₁ = (2-√(4+12))/(2*3) =(2-4)/6=-1/3
y₂ = (2+√(4+12))/(2*3) =(2+4)/6=1
Соответствующие значения х
для y₁
(x₁)²+4(y₁)²=4
(x₁)²+4(-1/3)²=4
(x₁)²+4/9=4
(x₁)²=32/9
x₁₁=-4√2/3
x₁₂=4√2/3
для y₂
(x₂)²+4(y₂)²=4
(x₂)²+4(1)²=4
(x₂)²=0
x₂=0
Итак, пересечений три
(-4√2/3;-1/3)
(4√2/3;-1/3)
(0;1)