Найти область значений функции f(x)=7cosx-9sinx+13 можете все расписать пожалуйста

0 голосов
172 просмотров

Найти область значений функции f(x)=7cosx-9sinx+13


можете все расписать пожалуйста


Алгебра (20 баллов) | 172 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Для начала преобразуем функцию g(x)=7 \cos x-9 \sin x . Для этого воспользуемся так называемым методом дополнительного (вспомогательного) аргумента.

g(x)=7\cos x-9\sin x=
=\sqrt{7^2+9^2}\left(\dfrac{7}{\sqrt{7^2+9^2}}\cdot\cos x- \dfrac{9}{\sqrt{7^2+9^2}}\cdot\sin x \right)=
=\sqrt{130}\left(\dfrac{7}{\sqrt{130}}\cdot\cos x- \dfrac{9}{\sqrt{130}}\cdot\sin x \right) .

Введём угол \alpha такой, что \begin{cases}
 & \cos \alpha =\dfrac{7}{\sqrt{130}} \\ 
 & \sin \alpha =\dfrac{9}{\sqrt{130}} 
\end{cases}.

Теперь функция принимает вид: g(x)=\sqrt{130}\left(\cos \alpha \cos x-\sin \alpha \sin x\right) = \sqrt{130}\cos { (\alpha +x)} .

Вспоминаем про исходную функцию: f(x)=g(x)+13. 

Проведём цепочку эквивалентных преобразований:
1\geqslant\cos {( \alpha +x)} \geqslant-1 \\ \sqrt{130}\geqslant\ \sqrt{130}\cos {( \alpha +x)}\geqslant-\sqrt{130} \\ \sqrt{130}\geqslant\ g(x)\geqslant-\sqrt{130} \\ \sqrt{130}+13\geqslant\ g(x)+13\geqslant-\sqrt{130} +13 \\ \sqrt{130}+13\geqslant\ f(x)\geqslant-\sqrt{130} +13. \\


Ответ: \sqrt{130}+13\geqslant\ f(x)\geqslant-\sqrt{130} +13.

(334 баллов)
0

БОЛЬШОЕ СПАСИБО!