Найти остаток от деления a = 5*4^31 + 7*18^37 на 17

Сделаем преобразования:

$a = 5*4^{31} + 7*18^{37} = 5*4^3*4^{28} +7*18^{37} = \\ \\ = 320*(4^2)^{14} +7*18^{37} = 320*16^{14} +7*18^{37} = \\ \\ = 320* (17-1)^{14} + 7*(17+1)^{37}$

Разложим разность и сумму в степени с помощью бинома Ньютона:

$(17-1)^{14} = 17^{14} - C_{14}^{1}17^{13}+ C_{14}^{2}17^{12} - ... -C_{14}^{13}17^{1} + 1 \\ \\ (17+1)^{37} = 17^{37} - C_{37}^{1}17^{36}+ C_{37}^{2}17^{35} - ... -C_{35}^{34}17^{1} + 1$

Хорошо видно, что все члены разложения делятся на 17, кроме последней единичку. Значит, остаток от деления на 17 выражения:
$320* (17-1)^{14} + 7*(17+1)^{37}$
равносилен остатку от деления 320 + 7 = 327. Т.к. при раскрытии скобок, можно отбросить все члены, которые делятся на 17 без остатка.

А число 327 легко разделить на 17 и получить остаток:
327 : 17 = 19 + 4 (остаток)

Ответ: 4

Найти остаток от деления a = 5*4^31 + 7*18^37 ** 17

Найти остаток от деления a = 54^31 + 718^37 ** 17