В равностороннем треугольнике ABC Высота BH=8√3, а площадь S=64√3. Найдите сторону...

Вообще сторону равностороннего треугольника можно найти и без площади. достаточно высоты.
в равностороннем треугольнике все углы по 60 градусов
высота делит этот треугольник на 2 равных прямоугольных треугольника
следовательно достаточно высоту разделить на синус противолежащего угла то есть
$a = \frac{8 \sqrt{3} }{ \frac{\sqrt{3}}{2} } = \frac{8 \sqrt{3} * 2}{\sqrt{3}}} = 8*2 = 16$
теперь проверим
$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{16^2 \sqrt{3}}{2^2}} = \frac{2^8 \sqrt{3}}{2^2}} = 2^6 \sqrt{3} = 64\sqrt{3}$
отсюда следует, что сторона найдена верно