Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка xy'-3y=(x^4)(e^x), если...

Применим метод Лагранжа. Т.е. найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

   $xy'-3y=0$ (*)

Уравнение (*) является дифференциальным уравнением с разделяющими переменными.

   $\dfrac{dy}{y} =3 \dfrac{dx}{x} ;~~~~~~~~\displaystyle~~~~~~\int \dfrac{dy}{y} =3 \int\dfrac{dx}{x} ;~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~ y=Cx^3$

Примем константу за функцию, т.е. $y=C(x)\cdot x^3$ . Тогда, дифференцируя по правилу произведения.
$y'=C'(x)\cdot x^3+3x^2C(x)$

Подставим теперь все это в исходное уравнение

$x\cdot(C'(x)\cdot x^3+3x^2C(x))-3C(x)\cdot x^3=x^4e^x\\ \\ x^4C'(x)+3x^3C(x)-3x^3C(x)=x^4e^x\\ \\ ~~~~~~~C'(x)=e^x;~~~~~\Rightarrow~~~~ ~~ C(x)=e^x+C$

Получаем общее решение данного ДУ :   $\boxed{y=(e^x+C)x^3}$

$e=(e^0+C)\cdot0^3;~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~ e\ne0$

В поиске частного решения произошла ошибка в условии. Если нет никакой ошибки, что ж уж поделать!