1) У меня есть кот, и он очень ленивый. (запятая, т.к. две грамматические основы ССП: есть кот; он ленивый.)
2)К верёвке я прикрепила бантик, чтобы поиграть с ним. (Две грамматические основы СПП: я прикрепила; поиграть.)
3)Сначала я двигала бантик у него перед глазами, потом трогала этим бантиком его лапки, но всё бесполезно. (Две грамматические основы: я двигала, трогала (запятая, потому что однородные сказуемые); всё бесполезно).