Произведение корней уравнения равно:

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3$

Перемножаем скобки $(x+1)(x+4)$ и $(x+2)(x+3)$
$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-3=0$

Замена:
$x^2+5x=t \\ \\ (t+4)(t+6)-3=0 \\ t^2+10t+24-3=0 \\ t^2+10t+21=0 \\ t_1+t_2=-10 \cup t_1t_2=21 \\ t_1=-3 \cup t_2=-7$

Обратная замена:
$1) \\ x^2+5x=-3 \\ x^2+5x+3=0 \\ x_1x_2=3 \\ \\ 2) \\ x^2+5x=-7 \\ x^2+5x+7=0 \\ D=25-28\ \textless \ 0$

Ответ: 3