Найдите сумму корней уравнения cosx-cos^2x-sin^3x=0, лежащих ** отрезке [180*;540*]....

0 голосов
38 просмотров

Найдите сумму корней уравнения cosx-cos^2x-sin^3x=0, лежащих на отрезке [180*;540*]. Ответ запишите в градусах.

image
Алгебра (17 баллов) | 38 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Решите задачу:

cosx-cos^2x-sin^3x=0\; \; ,\; \; \; x\in [\, 180^\circ;540^\circ]\\\\cosx(1-cosx)-sin^2x\cdot sinx=0\\\\cosx(1-cosx)-(1-cos^2x)\cdot sinx=0\\\\cosx(1-cosx)-(1-cosx)(1+cosx)sinx=0\\\\(1-cosx)\cdot (cosx-(1+cosx)sinx)=0\\\\(1-cosx)\cdot (cosx-sinx-sinx\, cosx)=0\\\\a)\; \; 1-cosx=0\; ,\; \; cosx=1\; ,\; \; x=2\pi k,\; k\in Z\\\\x\in [180^\circ ;540^\circ ]:\; \; x_1=180^\circ\\\\b)\; \; cosx-sinx-sinx\, cosx=0\; ,\\\\t=cosx-sinx\; ,\; t^2=cos^2x+sin^2x-2sinx\, cosx=1-2sinx\, cosx\\\\2sinx\, cosx=1-t^2\; ,\; \; sinx\, cosx=\frac{1-t^2}{2}\; .

t- \frac{1-t^2}{2}=0\; ,\; \; t^2+2t-1=0 \; ,\; \; \frac{D}{4}=1^2-1\cdot (-1)=1+1=2\\\\t_{1,2}=-1\pm \sqrt2\\\\t_1=-1-\sqrt2\; ,\; \; t_2=-1+\sqrt2\\\\a)\; \; cosx-sinx=-1-\sqrt2\; |:\sqrt2\\\\ \underbrace {\frac{1}{\sqrt2}}_{sin\frac{\pi}{4}}\cdot cosx- \underbrace {\frac{1}{\sqrt2}}_{cos\frac{\pi}{4}}\cdot sinx= \frac{-1-\sqrt2}{\sqrt2} \\\\sin(\frac{\pi}{4}-x)=-\frac{1+\sqrt2}{2}\ \textless \ -1\; \; (-\frac{1+\sqrt2}{\sqrt2}\approx -1,7\ \textless \ -1)\; \; net\; reshenij,\\\\tak\; kak\; \; -1 \leq sin(\frac{\pi}{4}-x) \leq 1\; .

b)\; \; cosx-sinx=\frac{-1+\sqrt2}{\sqrt2}\; \; \; \; (\frac{-1+\sqrt2}{\sqrt2}\approx 0,296)\\\\sin(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}\\\\ \frac{\pi }{4}-x=(-1)^{n}\cdot arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}+\pi n= \left [ {{arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqt2}+2\pi n,\; n\in Z} \atop {\pi -arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}+2\pi n,\; n\in Z}} \right. \\\\x= \left [ {{\frac{\pi}{4}-arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}-2\pi n,\; n\in Z} \atop {-\frac{3\pi}{4}+arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}-2\pi n,\; n\in Z}} \right.

c)\; \; x\in [\, 180^\circ;540^\circ]\; \; ili\; \; x\in [\pi ;3\pi ]:\\\\x_2=\frac{\pi}{4}-arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}+2\pi =\frac{9\pi}{4}-arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}\; ;\\\\x_3=-\frac{3\pi}{4}+arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}+2\pi =\frac{5\pi}{4}+arcsin\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}\; ;\\\\x_2+x_3=\frac{9\pi}{4}+\frac{5\pi}{4}=\frac{14\pi}{4}=14\cdot 45^\circ=630^\circ \\\\d)\; \; x_1+x_2+x_3=180^\circ +630^\circ=810^\circ\\\\Otvet:\; \; 810^\circ \; .
(831k баллов)
Похожие задачи