Остаток при делении натурального числа а ** 5 равен 4,а остаток при делении натурального...

Question

Остаток при делении натурального числа а на 5 равен 4,а остаток при делении натурального числа b на 5 равен 3.Докажите,что остаток при делении произведения чисел а и b на 5 равен 2.

Answer 1

По условию a = 5k + 4 и b = 5m + 3, где k и m - натуральные. Тогда a*b = (5k + 4)*(5m + 3) = 25k*m + 15k + 20m + 12. Следовательно a*b/5 = (25k*m + 15k + 20m + 12)/5 = 25k*m/5 + 15k/5 + 20m/5 + 12/5 = 5k*m + 3k + 4m + (10 + 2)/5 = 5k*m + 3k + 4m + 2 + 2/5. Т. к. 2/5 дает в остатке 2, то a*b/5 дает в остатке 2.