. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного...

Question 1

. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:
а) (2a–3b)(a+2b),
б) |(2a–3b)×(a+2b)|,
где |a|=5, |b|=2, a^b=3π/4.

Question 2

$|\vec{a}|=5\; ,\; \; |\vec{b}|=2\; ,\; \; \alpha =(\vec{a}\, \widehat,\, \vec{b})=\frac{3\pi }{4}$

а) Скалярное произведение векторов:

$(2\vec{a}-3\vec{b})\cdot (\vec{a}+2\vec{b})=2\cdot \vec{a}^2+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-3\cdot \underbrace {\vec{b}\cdot \vec{a}}-6\cdot \vec{b}^2=\\\\=2\cdot |\vec{a}|^2+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-3\cdot \underbrace {\vec{a}\cdot \vec{b}}-6\cdot |\vec{b}|^2=\\\\=2\cdot 5^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-6\cdot 2^2=50+|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\frac{3\pi}{4}-24=\\\\=26+5\cdot 2\cdot (-\frac{\sqrt2}{2})=26-5\sqrt2$

2) Векторное произведение:

$(2\vec{a}-3\vec{b})\times (\vec{a}+2\vec{b})=2\cdot \underbrace {\vec{a}\times\vec{a}}_{0}+4\cdot \vec{a}\times \vec{b}-3\cdot \vec{b}\times \vec{a}-6\cdot \underbrace {\vec{b}\times \vec{b}}_{0}=\\\\=4\cdot \vec{a}\times \vec{b}+3\cdot \vec{a}\times \vec{b}=7\cdot \vec{a}\times \vec{b}\\\\|(2\vec{a}-3\vec{b})\times (\vec{a}+2\vec{b})|=|7\cdot \vec{a}\times \vec{b}|=7\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot sin\frac{3\pi}{4}=\\\\=7\cdot 5\cdot 2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=35\sqrt2$