Что такое одночлен? Определение, примеры
Первое запланированное знакомство с одночленами происходит в 7 классе средней школы. Там дается следующее определение одночлена:
Определение.
Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также всевозможные составленные из них произведения.
Озвученное определение позволяет привести примеры одночленов. Каждое из чисел 1, 7, 1 002, 0, −1, −7, 0,8, 1/4,  - это одночлен. Любая переменная, к примеру, a,b, p, q, t, x, y, z – это тоже одночлены по определению. Одночленами являются и степени чисел и переменных, например, 23, (−3,41)7, x2 и t115. Но наиболее яркими представителями одночленов являются произведения чисел, переменных и их степеней: 5·x, 7·(−3)·x·y3·6,x·x·y3·x·y2·z и т.п. Из приведенных примеров видно, что в составе одночлена может быть как одно, так и несколько чисел, как одна, так и несколько переменных и их степеней, причем они могут повторяться.
До 7 класса в школе были изучены натуральные, целые ирациональные числа, они и фигурируют в приведенных выше примерах одночленов. Однако нужно заметить, что определение одночлена в указанной формулировке остается в силе после знакомства с действительными числами и комплексными числами. Так , 2·π·x3 и  - это тоже одночлены.
К началу страницы
Стандартный вид одночлена
С одночленами удобно работать, когда они приведены к так называемому стандартному виду.
Определение.
Стандартный вид одночлена - это такой вид одночлена, в котором он представлен как произведение числового множителя (который обычно записывают перед остальными множителями слева и называют коэффициентом одночлена) и натуральных степеней различных переменных.
Для пояснения приведем примеры нескольких одночленов стандартного вида: 5 (этот одночлен не содержит переменных), 2·a, −7·x2·y3, , x·y (здесь коэффициент равен единице), −x3 (здесь коэффициент равен −1). А вот одночлены 4·a·a2·a3 и 5·x·(−1)·3·y2записаны не в стандартном виде, так как первый из них содержит одинаковые переменные, а второй – несколько числовых множителей.
Отметим, что в одночленах стандартного вида принято буквенные множители записывать в алфавитном порядке. Например, одночлен b4·6·a·z2·cпредпочтительнее записать как 6·a·b4·c·z2. Давайте договоримся в дальнейшем везде записывать переменные в составе одночлена в алфавитном порядке. Записывать переменные не в алфавитном порядке мы будем только тогда, когда будем преследовать какую-то определенную цель.
Любой одночлен путем тождественных преобразованийможет быть представлен в стандартном виде. Иными словами, можно любой одночлен привести к стандартному виду.
К началу страницы
Степень одночлена
Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.
Определение.
Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.
Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как aэто есть a1. Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a2·x·y3·a2 является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a, x и y равна 2+1+3+2=8.
Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена3·x2·y3·x·(−2)·x5·y. Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x8·y4, его степень равна 8+4=12. Таким образом, степень исходного одночлена равна 12.
К началу страницы
Коэффициент одночлена
Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем –числовым коэффициентом. Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.
Определение.
Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.
Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a3 по определению, аналогично одночлен(−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3.
Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1. Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a, x·z3, a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1, так как a можно рассматривать как 1·a,x·z3 – как 1·x·z3 и т.п.
Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x, −x3·y·z3 и т.п. имеют коэффициент −1, так как −x=(−1)·x, −x3·y·z3=(−1)·x3·y·z3 и т.п.