Для решения применим теорему об отношении площадей треугольников из 8 класса. Пусть S - площадь треугольника АВС. AO=k*AM
BM:MC =2:1⇒S(ABM)= 2/3 S, S(AMC)=1/3 S.
S(ALO)=1/4*k S(ABM)=1/4 k* 2/3 S=1/6 k*S
S(AOK)= k* 2/3 S(AMC) = 2/3 k*1/3 S= 2/9 kS.
S(ALK)= 1/6 kS+2/9 kS=5/18 kS. Но площадь ALK=1/4 * 2/3 A(ABC) = 1/6 S/
Теперь приравниваем 5/18 kS=1/6 S
k=3/5⇒AO:OM=3:2.