10) z = -x^2 - 4xy - 7y^2 - 12x - 30y - 4
Необходимое условие экстремума: производные равны 0.
dz/dx = -2x - 4y - 12 = 0
dz/dy = -14y - 4x - 30 = 0
Решаем систему
{ -2x - 4y - 12 = 0
{ 2x + 7y + 15 = 0
Складываем уравнения
3y + 3 = 0
y = -1
2x + 7(-1) + 15 = 2x + 8 = 0
x = -4
Точка M0(-4; -1)
Достаточное условие. Находим вторые производные
A = d2z/dx^2 = -2 < 0
B = d2z/(dxdy) = -4
C = d2z/dy^2 = -14
D = AC - B^2 = (-2)(-14) - (-4)^2 = 28 - 16 = 12 > 0
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
Если бы было D > 0 и A > 0 - это был бы минимум.
Если бы было D < 0 - экстремума не было бы вообще.
Ответ: M0(-4; -1) - это максимум.