Решите уравнение | x^2 + x | = | 3x + 3

Можно было раскрыть модули по определению, но поступим несколько иначе. Найдём интервалы, где выражения под моудем меняют свои знаки.

$x^2 + x = x(x+1) = 0 \\ \\ +: x \leq -1 \\ -: -1\ \textless \ x\ \textless \ 0 \\ +: x \geq 0 \\ \\ \\ 3x+3=3(x+1) \\ \\ -: x \leq -1 \\ +: x\ \textgreater \ -1$

На основе этого выделяем три интервала:

1) (∞; -1]
В левой части под модулем выражение больше нуля, раскрываем модуль по определению: x² + x. В правой части под модулем отрицательное выражение, раскрываем модуль и получаем: (-3х - 3).
Решаем
$x^2 +x = -3x-3 \\ \\ x^2+4x+3 = 0 \\ \\ x_1=-1; x_2 =-3$
Подходят оба корня.

2) [-1; 0] В левой части под модулем выражение меньше нуля, значит, (-x² - x). В правой части выражение под модулем больше нуля, значит, (3x + 3).
Решаем
$-x^2-x = 3x+3 \\ \\ x^2+4x+3=0 \\ \\ x_1=-1; x_2=-3$
Здесь мы можем взять только один корень x = -1, который у нас уже есть.

3) [0; +∞] Оба выражения под модулем больше нуля, значит:
$x^2 + x = 3x +3 \\ \\ x^2 -2x -3 =0 \\ \\ x_=-1; x_2 =3$
Подходит один корень x = 3.

Ответ: x = -3; x = -1; x = 3

Решите уравнение | x^2 + x | = | 3x + 3 |