Для положительных х и у докажите данное неравенство:

$\displaystyle \frac{3x}{y}+\frac{y}{27x} \geq \frac{2}3\\\\\frac{3x\cdot 27x+y\cdot y}{27xy}-\frac{2}3 \geq 0\\\\\frac{81x^2+y^2-\frac{2}3\cdot27xy}{27xy} \geq 0\\\\\frac{(9x)^2-2\cdot9xy+y^2}{27xy} \geq 0\\\\\frac{(9x-y)^2}{27xy} \geq 0$

$27xy$ - положительное выражение. (по условию х и у положительные)
$(9x-y)^2$ - тоже положительное. Любое выражение в квадрате больше либо равно 0.

Частное положительных чисел - положительное число. Значит, исходное неравенство верно.
Доказано.