4ⁿ + 6n - 10
При n = 1 имеем 4 + 6 - 10 = 10 - 10 = 0. Кратность подтверждается. Пусть 4ⁿ + 6n - 10 кратно 18. Докажем, что и 4ⁿ⁺¹ + 6(n + 1) - 10 кратно 18. Составим разность: 4ⁿ⁺¹ + 6(n + 1) - 10 - (4ⁿ + 6n - 10) = 4*4ⁿ + 6n + 6 - 10 - 4ⁿ - 6n + 10 = 4*4ⁿ - 4ⁿ + 6 = 3*4ⁿ + 6 = 3(4ⁿ + 2). Покажем, что 4ⁿ + 2 кратно 6. При n = 1 имеем 4 + 2 = 6. Кратность подтверждается. Пусть 4ⁿ + 2 кратно 6. Докажем, что и 4ⁿ⁺¹ + 2 кратно 6. Вновь составляем разность 4ⁿ⁺¹ + 2 - 4ⁿ - 2 = 4*4ⁿ - 4ⁿ = 4ⁿ(4 - 1) = 3*4ⁿ = 3*2²ⁿ = 6*2²ⁿ⁻¹. Это выражение кратно 6, значит и 4ⁿ⁺² кратно 6. Значит разность 4ⁿ⁺¹ + 6(n + 1) - 10 - (4ⁿ + 6n - 10) = 3(4ⁿ + 2) = 3*6*2²ⁿ⁻¹ = 18*2²ⁿ⁻¹ кратна 18, а значит и выражение 4ⁿ + 6n - 10 кратно 18.