Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10....

Пусть x,y - диагонали ромба. Из условия x+y=10 откуда y=10-x

Рассмотрим функцию $S(x)= \dfrac{xy}{2} = \dfrac{x(10-x)}{2} = 5x- \dfrac{x^2}{2}$

Производная этой функции : $S'(x)=\bigg(5x- \dfrac{x^2}{2} \bigg)'=5-x$

$S'(x)=0;~~~~~ \Rightarrow~~~~ 5-x=0;~~~~\Rightarrow~~~~ x=5$

(0)___+___(5)___-___

Производная функции в точке x=5 меняет знак с (+) на (-), следовательно, х=5 - точка максимума.

х=у=10-5=5. Тогда $S= \dfrac{xy}{2}=\dfrac{5\cdot 5}{2}= 12.5$