Центр вписанной в треугольник АВС окружности делит биссектрису угла В ** части 9 и...

Question

Центр вписанной в треугольник АВС окружности делит биссектрису угла В на части 9 и 5,считая от вершины В. сторона АС равна 15,а разность двух других сторон равна 1. Oпределите радиус вписанной окружности

Answer 1

Дано:
- треугольник АВС, биссектриса ВД, вписанная окружность с центром О,
- АВ = х,
- ВС = х + 1,
- АС = 15,
- ВО:ОД = 9:5.

Деление биссектрис точкой их пересечения (а это центр вписанной окружности) определяется формулой:
ВО:ОД = (АВ + ВС)/АС = (х + х + 1) /15 = 9/5.
Сократим знаменатели на 5 и приведём к общему знаменателю:
2х + 1 = 3*9,
2х = 27 - 1 = 26,
х = 26/2 = 13 это сторона АВ.
Находим сторону ВС = 13 + 1 = 14.
Полупериметр р = (13+14+15)/2 = 21.
Площадь S треугольника АВС находим по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √7056 = 84.
Тогда радиус вписанной окружности r = S/p = 84/21 = 4.