Найти точку пересечения прямой x−1/ 3 = y+3/ 4 = z+5 /−2 и плоскостью 2x − 6y + 4z − 3 =...

Question 1

Найти точку пересечения прямой x−1/ 3 = y+3/ 4 = z+5 /−2 и плоскостью 2x − 6y + 4z − 3 = 0.

Question 2

Введём параметр $\lambda$ в канонической уравнении прямой:
$\displaystyle \frac{x-1}{3}= \frac{y+3}{4}= \frac{z+5}{-2}$ , где $\overline{q}\{3;4;-2\}$ - направляющий вектор.

и тогда можно записать уравнение прямой в параметрической форме:
$\displaystyle \begin{cases} & \text{ } x=3\lambda+1 \\ & \text{ } y=4\lambda-3 \\ & \text{ } z=-2\lambda-5 \end{cases}$

И подставим эти переменные в заданное уравнение плоскости, получим уравнение относительно $\lambda.$
$2(3\lambda+1)-6(4\lambda-3)+4(-2\lambda-5)-3=0\\ 6\lambda+2-24\lambda+18-8\lambda-20-3=0\\ -26\lambda=3\\ \\ \lambda=- \dfrac{3}{26}$

Окончательно имеем точку пересечения прямой и плоскостью
$\displaystyle \displaystyle \begin{cases} & \text{ } x=3\cdot(- \frac{3}{26}) +1 \\ & \text{ } y=4\cdot(-\frac{3}{26})-3 \\ & \text{ } z=-2\cdot(-\frac{3}{26})-5 \end{cases}~~~\Rightarrow\displaystyle \begin{cases} & \text{ } x=\frac{17}{26} \\ & \text{ } y=-\frac{45}{13} \\ & \text{ } z=-\frac{62}{13}\end{cases}$

ОТВЕТ: $\bigg(\dfrac{17}{26};-\dfrac{45}{13};-\dfrac{62}{13}\bigg)_.$

LecToRJkeeeee_zn · Answer 1 · 2018-05-28T15:41:31+0000

Введём параметр $\lambda$ в канонической уравнении прямой:
$\displaystyle \frac{x-1}{3}= \frac{y+3}{4}= \frac{z+5}{-2}$ , где $\overline{q}\{3;4;-2\}$ - направляющий вектор.

и тогда можно записать уравнение прямой в параметрической форме:
$\displaystyle \begin{cases} & \text{ } x=3\lambda+1 \\ & \text{ } y=4\lambda-3 \\ & \text{ } z=-2\lambda-5 \end{cases}$

И подставим эти переменные в заданное уравнение плоскости, получим уравнение относительно $\lambda.$
$2(3\lambda+1)-6(4\lambda-3)+4(-2\lambda-5)-3=0\\ 6\lambda+2-24\lambda+18-8\lambda-20-3=0\\ -26\lambda=3\\ \\ \lambda=- \dfrac{3}{26}$

Окончательно имеем точку пересечения прямой и плоскостью
$\displaystyle \displaystyle \begin{cases} & \text{ } x=3\cdot(- \frac{3}{26}) +1 \\ & \text{ } y=4\cdot(-\frac{3}{26})-3 \\ & \text{ } z=-2\cdot(-\frac{3}{26})-5 \end{cases}~~~\Rightarrow\displaystyle \begin{cases} & \text{ } x=\frac{17}{26} \\ & \text{ } y=-\frac{45}{13} \\ & \text{ } z=-\frac{62}{13}\end{cases}$

ОТВЕТ: $\bigg(\dfrac{17}{26};-\dfrac{45}{13};-\dfrac{62}{13}\bigg)_.$