Из
вершины С равнобедренного треугольника АВС, у которого ∠АСВ = 120°, к плоскости α, которая содержит сторону АВ, проведён
перпендикуляр СD = 9 см. Проекция медианы СМ треугольника на плоскость α
равна 12 см.
1) Вычислите проекцию боковой стороны на плоскость α.
2) Доказать, что прямая АВ перпендикулярна плоскости СМD.
CD⊥α, значит MD - проекция медианы СМ на плоскость α,
AD - проекция боковой сторона на плоскость α.
MD = 12 см, AD - искомая.
ΔCMD: ∠CDM = 90°, по теореме Пифагора
СМ = √(CD² + MD²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см
СМ - медиана, а значит и высота равнобедренного треугольника АВС,
∠АСВ = 120°, значит ∠САВ = ∠СВА = (180° - 120°)/2 = 30°.
В прямоугольном треугольнике САМ СА = 2СМ = 30 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.
1)
ΔACD: ∠ADC = 90°, по теореме Пифагора
AD = √(AC² - CD²) = √(900 - 81) = √819 = 3√91 см
2) СМ⊥АВ так как медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и высотой,
MD - проекция СМ на плоскость α, значит и MD⊥AB по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
АВ⊥СМ, АВ⊥MD, ⇒ АВ⊥(CMD)