Для начала вспомним, что тупой угол - это угол с градусной
мерой больше 90° и меньше 180°. Из одной точки можно пустить три луча, которые
между собой образуют 3 тупых угла.
Пустим 4-й луч вблизи одного из трёх лучей, у нас добавится дополнительно 2
тупых угла. 5-й луч пустим вблизи второго из числа первых трёх, дополнительно
образуются 3 тупых угла. Наконец, пускаем 6-й луч вблизи третьего, получив
дополнительно 4 тупых угла. У нас будет получаться как бы три пучка близко
расположенных лучей в каждом пучке.
Считаем сколько получилось тупых углов после добаления к первым трём лучам ещё
трёх лучей. 3 луча было, плюс 2, плюс 3 и плюс 4, всего 12 лучей.
Итак, для 3-х лучей - 3 тупых угла; для 6 лучей - 12 тупых углов.
Рассуждаем аналогично, добавляя по очереди ещё 3 луча. Добавятся сначало 4
угла, затем 5 и, наконец, 6; т.е. всего добавится 15 тупых углов. А всего для 9
лучей будет 27 тупых углов.
Точно также, считая для 12 лучей, получим дополнительно 6+7+8 = 21 тупых угла,
а всего - 48.
Можно было бы и далее продолжать таким способом, но мы замечаем закономерность.
Пусть а1 = 3 - это первый член последовательности. Используя предыдущее
значение (рекуррентно), можно вычислить следующее значение по формуле:
, где n - число лучей кратное 3.
Пробуем вычислить по этой формуле:
Итак, ответ найден. Для 21 луча возможно максимум 147 тупых угла.
Так считать долго, можно увидеть формулу для прямого расчёта:
По этой формуле можно считать для любого количества лучей, кратное трём.