Помогите,пожалуйста,с высшей математикой.

Question 1

Question 2

Найти предел
$\lim_{x \to \infty}x\cdot( \frac{\pi}{4}-arctg( \frac{x}{x+1}) )$

Решение
$\lim_{x \to \infty}x\cdot( \frac{\pi}{4}-arctg( \frac{x}{x+1}) )=[0\cdot \infty]$

Данную неопределенность необходимо привести к виду 0/0 и применить правило Лопиталя

$\lim_{x \to \infty}x\cdot( \frac{\pi}{4}-arctg( \frac{x}{x+1}) )=\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{\pi}{4}-arctg( \frac{x}{x+1})}{ \frac{1}{x} }=$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{( \frac{\pi}{4}-arctg( \frac{x}{x+1}))'}{( \frac{1}{x})' }=\lim_{x \to \infty} \frac{ - \frac{1}{1+( \frac{x}{1+x} )^2}\cdot( \frac{x}{x+1})'}{-\frac{1}{x^2} }=$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{1+ \frac{x^2}{(1+x)^2}}\cdot \frac{x'(x+1)-x(x+1)'}{(x+1)^2}}{\frac{1}{x^2} }=\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{1+ \frac{x^2}{(1+x)^2}}\cdot \frac{x+1-x}{(x+1)^2}}{\frac{1}{x^2} }=$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{1+ \frac{x^2}{(1+x)^2}}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}}{\frac{1}{x^2} }=\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{(x+1)^2+ x^2}}{\frac{1}{x^2} }=\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{2x^2+2x+1}=$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2(2+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2}) }= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2} }= \frac{1}{2} =0,5$

Поэтому
$\lim_{x \to \infty}x\cdot( \frac{\pi}{4}-arctg( \frac{x}{x+1}) )=0,5$
Ответ 0,5