Даны функции:
1) y=x^5-x^2+8,
2) y=x^3/3+2x^2-5x+4,
3) y=-5x^3+6x^2-3.
Находим производную и приравниваем нулю.
1) y=x^5-x^2+8.
y' = 5x^4 -2x = 0.
x(5x^3 -2) = 0.
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = ∛(2/5) и 3 промежутка монотонности функции (-∞; 0), (0; ∛(2/5)) и (∛(2/5); +∞).
На
промежутках находим знаки производной. Где
производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где
производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс
- точки минимума.
x =
-1 0
0,5
0,736806
1
y' = 7
0
-0,6875 0 3.
Как видим, есть 2 промежутка возрастания функции (-∞; 0) и (∛(2/5); +∞) и один убывания (0; ∛(2/5)).
В точке х = 0 максимум функции, в точке х = ∛(2/5) минимум.
2) y=x^3/3+2x^2-5x+4.
y' = (3x²/3)+ 4x - 5 = 0.
x² + 4x - 5 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=4^2-4*1*(-5)=16-4*(-5)=16-(-4*5)=16-(-20)=16+20=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(2root36-4)/(2*1)=(6-4)/2=2/2=1;x_2=(-2root36-4)/(2*1)=(-6-4)/2=-10/2=-5.
x =
-6 -5
0
1
2
y' = 7
0 -5
0 7.
Как видим, есть 2 промежутка возрастания функции (-∞; -5) и (1; +∞) и один убывания (-5; 1).
В точке х = -5 максимум функции, в точке х = 1 минимум.
3) y=-5x^3+6x^2-3.
y' = -15x² + 12x = 0.
-3x(5x - 4) = 0.
Получаем 2 критические точки: х = 0 и х = 4/5.
x = -1 0
0,5
0,8 1
y' =
-27 0 2,25 0 -3.
Как видим, есть 2 промежутка убывания функции (-∞; 0) и ((4/5); +∞) и один возрастания (0; (4/5)).
В точке х = 4/5 максимум функции, в точке х = 0 минимум.