Даю 50 баллов. Нужно вычислить.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

В знаменателе суммируются члены, знаменатель которых, в свою очередь, является суммой арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и шагом прогрессии 1. Найдём эту сумму:

$S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2} n = \frac{2*1+1*(n-1)}{2} n = \frac{n(n-1)}{2}$

Значит, каждый член в знаменателе можно представить так:

$c_n = \frac{2}{n(n+1)}$ , где n = 1, 2, 3, ...

Пробуем вычислять сумму первых членов
n=1; $c_1 = \frac{2}{1*(1+1)} =1$ ; $S_1 = c_1 = 1 = \frac{2}{2}$

n=2; $c_2 = \frac{2}{2*(2+1)} = \frac{1}{3}$
$S_2 = c_1 + c_2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

n=3; $c_3 = \frac{2}{3*(3+1)} = \frac{1}{6}$
$S_3 = c_1 + c_2 + c_3 = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{6}{4}$

n=4; $c_4 = \frac{2}{4*(4+1)} = \frac{1}{10}$
$S_4 = c_1 + c_2 + c_3+ c_4 = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}+ \frac{1}{10} = \frac{8}{5}$

Продолжая таким образом, замечаем, что
$S_n = \frac{2n}{n+1}$

Докажем этот факт методом математической индукции. Первый шаг у нас уже сделан, проверка на первых членах прошла. Предполагаем, что формула верна для n. Докажем, что формула верна для (n+1).
(n+1)-й член имеет вид
$c_{n+1}= \frac{2}{(n+1)(n+2)}$
Прибавим его к предполагаемой сумме:
$S_{n+1}=S_n+c_{n+1} = \frac{2n}{n+1} + \frac{2}{(n+1)(n+2)} = \\ \\ = \frac{2}{n+1}( n+ \frac{1}{n+2} ) = \frac{2}{n+1}( \frac{n^2+2n+1}{n+2} ) =\frac{2}{n+1}\frac{(n+1)^2}{n+2} = \frac{2(n+1)}{n+2}$

Последнее выражение и есть сумма (n+1) членов, если в формулу:
$S_n = \frac{2n}{n+1}$
вместо n подставить (n+1).

Итак, находим сумму 2013 членов:
$S_{2013} = \frac{2*2013}{2013+1}= \frac{2*2013}{2014}$

Наконец, вычисляем всё выражение
$\frac{2*2013}{ \frac{2*2013}{2014} } =2014$

Всё.

AssignFile_zn (43.0k баллов) 29 Май, 18