Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра! помогите пожалуйста)

Question

Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра! помогите пожалуйста)

Answer 1

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C — паллалерограммПоэтому
BA1 = AC, 2AM = AA1 < AB + BA1 = AB + AC Отсюда следует, что AM < 1/2(AB + BC).
Аналогично докажем, что
BN < 1/2(AB + BC),
CK < 1/2(AC + BC).
Сложив почленно эти три неравенства, получим:
AM + BN + CK < AB + BC + AC.

Answer 2

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C — параллелограмм (см рисунок) Поэтому BA1 = AC, 2AM = AA1 < AB + BA1 = AB + AC Отсюда следует, что AM < 1/2(AB + BC). Аналогично докажем, что BN < 1/2(AB + BC), CK < 1/2(AC + BC). Сложив почленно эти три неравенства, получим: AM + BN + CK < AB + BC + AC.

Comments

EF = BC/2
DF = AB/2
DE = AC/2
Тогда из треугольника ADE получаем: AD < DE + AE = AB/2 + AC/2
Аналогично BF < BE + EF = AB/2 + BC/2
CE < CD + DF = AC/2 + BC/2
Теперь складываем все три неравенства:
AD + BF + CE < Ab + AC + BC