Решите пожалуйста ))) 12arcsin^2 x+2пarcsin x +6пarccos x=4п^2

0 голосов
22 просмотров

Решите пожалуйста )))
12arcsin^2 x+2пarcsin x +6пarccos x=4п^2


Алгебра (24 баллов) | 22 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Положим \arcsin x=t~~~~\Rightarrow~~~~ x=\sin t и при этом t\in \bigg[- \dfrac{\pi}{2} ;\dfrac{\pi}{2} \bigg].

12t^2+2 \pi t+6 \pi \arccos\bigg(\sin t\bigg)=4 \pi ^2\\ \\ 12t^2+2\pi t+6\pi\arccos\bigg(\cos\bigg( \dfrac{\pi}{2}-t\bigg)\bigg)=4\pi^2\\ \\ 12t^2+2 \pi t+6\pi\bigg( \dfrac{\pi}{2}-t\bigg)=4\pi^2\\ \\ 12t^2+2\pi t+3\pi^2-6\pi t=4\pi^2\\ \\ 12t^2-4\pi t-\pi^2 =0\\ \\ D=16\pi^2+48\pi^2=64\pi^2;~~~~ \sqrt{D} =8\pi\\ \\ t_1= \dfrac{\pi}{2} ;~~~~~~~~ t_2=-\dfrac{\pi}{6}

Осуществив обратную замену, находим x_1=\sin \dfrac{\pi}{2} =1;~~~~~ x_2=\sin\bigg(-\dfrac{\pi}{6} \bigg)=- \dfrac{1}{2}

(51.5k баллов)