Показать, что функция z= f (x, y) удовлетворяет данному уравнению.

Решите задачу:

$z=ln(y+e^{-x})\\\\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y+e^{-x}}\cdot (-e^{-x})=-\frac{e^{-x}}{y+e^{-x}}\\\\\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=-\frac{(e^{-x})'_{y}(y+e^{-x})-e^{-x}(y+e^{-x})'_{y}}{(y+e^{-x})^2}=-\frac{0-e^{-x}\cdot 1}{(y+e^{-x})^2}=\frac{e^{-x}}{(y+e^{-x})^2}\\\\\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{y+e^{-x}}\cdot 1=\frac{1}{y+e^{-x}}\\\\ \frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=\frac{-1}{(y+e^{-x})^2}$

$\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial ^2z}{\partial y^2}- \frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=-\frac{e^{-x}}{y+e^{-x}}\cdot \frac{-1}{(y+e^{-x})^2}-\frac{1}{y+e^{-x}}\cdot \frac{e^{-x}}{(y+e^{-x})^2}=\\\\=\frac{e^{-x}}{(y+e^{-x})^3}-\frac{e^{-x}}{(y+e^{-x})^3}=0$